LIMITES INDETERMINADO, LIMITES AL INFINITO Y LIMITES EXPONENCIALES

LIMITES INDETERMINADO , LIMITES AL INFINITO Y LIMITES EXPONENCIALES

¿ QUE ES LIMITE ?

Es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor

En calculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclideo, es la clase de conjuntos abiertos incluidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

LIMITE INDETERMINADO

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1^¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

EJEMPLO:

Este límite es de la forma ¥ - ¥. Indeterminado.

Este límite se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado, es decir, por

Por tanto el límite se reduce a calcular

El primer factor tiene por límite cero ya que el grado del numerador es menor que el del denominador.

· El segundo factor tiene por límite ¥ pues el grado del numerador es mayor que el del denominador.

· El límite es por tanto de la forma 0·¥ . Indeterminado.

· Multiplicando las dos fracciones

Al ser un cociente de polinomios de igual grado,

LIMITE AL INFINITO

Infinito, la palabra aparece regularmente en los conceptos Matemáticos, esta es básicamente sólo una idea y no un número. Una cantidad extremadamente grande la cual no está definida puede ser considerada como infinito. Cuando se calcula el límite de una fracción, en la que el numerador se acerca a una cantidad positiva o negativa, si el denominador se mueve hacia 0, entonces en ese caso se dice que el límite es inexistente. Con el fin de explicar el comportamiento de tales funciones, decimos que

lim_x->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

LIMITES EXPONENCIALES

os referimos aquí no a límites de la forma Lim

, con g(x) teniendo por límite

, cuyo resultado simplemente es 1, sino a límites de la forma
unog2.gif (123 bytes)

cuando f(x) tiene por límite 1, y g(x) tiene por límite

. Vamos a tomar el EJEMPLO 1, para describir minuciosanente el proceso:
expl1.gif (365 bytes)

límite que es de la forma indicada. Para su resolución debe tenerse en cuenta que:

como igualdad fundamental. O en forma más general:
expl2.gif (402 bytes)

siendo g(x) una expresión que tiende bien a +

ó bien a -

, en el infinito.

En concreto para resolver el límite del ejemplo 1 deberemos pasarlo a esta forma del número e , siguiendo para ello los siguientes pasos:

a) Separación del numerador en dos partes, una de ellas idéntica al denominador.

b) Expresar el parentesis en la forma ( 1 + f/g). c) Pasar el numerador f al denominador como cociente (1+1/(g/f)). d) Asegurarnos de que (f/g) tiene por límite +

ó -

, entonces multiplicar y dividir al exponente por ese (f/g).